Du musst deine Daten erst in einen Array packen, bevor du abfragst, ob $name schon vorhanden ist:
<?php
$name = $_POST["name"];
$pw = $_POST["pw"];
$abfrage = "SELECT ".$name." FROM accounts";
$ergebnis = mysql_query($abfrage);
while($row = mysql_fetch_array($ergebnis))
if(in_array($name...